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【第1篇 2023高一数学集合知识点总结
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互异性（若a?a，b?a，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：n，z，q，r，n_
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对_∈a都有_∈b，则a b（或a b）；
2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；记为a b（或 ，且 ）
3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5）补集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，则? a ；
②若 ， ，则 ；
③若 且 ，则a=b（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；
④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。
5．交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；
6．有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{_|_= ,m∈z}；对于集合n：{_|_= ,n∈z}
对于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ b ）
a．m=n b．m n c．n m d．
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a_b的子集个数为
a）1 b）2 c）3 d）4
分析：确定集合a_b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有两个元素，故a_b的子集共有22个。选d。
变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为
a）5个 b）6个 c）7个 d）8个
变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时，a_-1=0无解，∴a=0 ②
综①②得：所求集合为{-1，0， }
例5已知集合 ，函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练
选择题
1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（a）5个 （b）6个 （c）7个 （d）8个
3．集合a={_ } b={ } c={ }又 则有
（a）（a+b） a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个
4．设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是
（a）cua cub （b）cua cub=u
（c）a cub= （d）cua b=
5．已知集合a={ }， b={ }则a =
（a）r （b）{ }
（c）{ } （d）{ }
6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（_-1）2(_-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是
（a）只有（1）和（4） （b）只有（2）和（3）
（c）只有（2） （d）以上语句都不对
7．设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=
（a）_ （b）t （c）φ （d）s
8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式a_2+b_+c 0的解集为
（a）r （b） （c）{ } （d）{ }
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，则_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r，则a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是
13设集合a={ },b={_ },且a b，则实数k的取值范围是。
14.设全集u={_ 为小于20的非负奇数}，若a （cub）={3，7，15}，（cua） b={13，17，19}，又（cua） （cub）= ，则a b=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求实数a。
16(12分)设a= ， b= ，
其中_ r,如果a b=b，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9．{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a
（ⅰ）b= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}时， 0 得a=-1
（ⅲ）b={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
【第2篇 2023高一数学集合知识点总结归纳
高一数学集合知识点总结
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互异性（若a?a，b?a，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：n，z，q，r，n_
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对_∈a都有_∈b，则a b（或a b）；
2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；记为a b（或 ，且 ）
3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5）补集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，则? a ；
②若 ， ，则 ；
③若 且 ，则a=b（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；
④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。
5．交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；
6．有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{_|_= ,m∈z}；对于集合n：{_|_= ,n∈z}
对于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ b ）
a．m=n b．m n c．n m d．
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
【第3篇 2023高考数学知识点总结：集合知识点汇总
一.知识归纳：
1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：n，z，q，r，n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对_∈a都有_∈b，则a b(或a b);
2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或，且 )
3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，则? a ;
②若， ，则 ;
③若且 ，则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
二.例题讲解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{_|_= ,m∈z};对于集合n：{_|_= ,n∈z}
对于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合， ，则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解：
当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析：确定集合a_b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有两个元素，故a_b的子集共有22个。选d。
变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当时，a_-1=0无解，∴a=0 ②
综①②得：所求集合为{-1，0， }
例5已知集合 ，函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：(1)若 ， 在 内有有解
令当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
【第4篇 2023年高一数学集合知识点总结
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互异性（若a?a，b?a，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：n，z，q，r，n_
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对_∈a都有_∈b，则a b（或a b）；
2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；记为a b（或 ，且 ）
3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5）补集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，则? a ；
②若 ， ，则 ；
③若 且 ，则a=b（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；
④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。
5．交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；
6．有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{_|_= ,m∈z}；对于集合n：{_|_= ,n∈z}
对于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ b ）
a．m=n b．m n c．n m d．
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a_b的子集个数为
a）1 b）2 c）3 d）4
分析：确定集合a_b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有两个元素，故a_b的子集共有22个。选d。
变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为
a）5个 b）6个 c）7个 d）8个
变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时，a_-1=0无解，∴a=0 ②
综①②得：所求集合为{-1，0， }
例5已知集合 ，函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（a）5个 （b）6个 （c）7个 （d）8个
3．集合a={_ } b={ } c={ }又 则有
（a）（a+b） a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个
4．设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是
（a）cua cub （b）cua cub=u
（c）a cub= （d）cua b=
5．已知集合a={ }， b={ }则a =
（a）r （b）{ }
（c）{ } （d）{ }
6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（_-1）2(_-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是
（a）只有（1）和（4） （b）只有（2）和（3）
（c）只有（2） （d）以上语句都不对
7．设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=
（a）_ （b）t （c）φ （d）s
8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式a_2+b_+c 0的解集为
（a）r （b） （c）{ } （d）{ }
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，则_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r，则a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是
13设集合a={ },b={_ },且a b，则实数k的取值范围是。
14.设全集u={_ 为小于20的非负奇数}，若a （cub）={3，7，15}，（cua） b={13，17，19}，又（cua） （cub）= ，则a b=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求实数a。
16(12分)设a= ， b= ，
其中_ r,如果a b=b，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9．{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a
（ⅰ）b= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}时， 0 得a=-1
（ⅲ）b={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
【第5篇 高一数学集合知识点总结
一.知识归纳：
1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：n，z，q，r，n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对_∈a都有_∈b，则a b(或a b);
2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或 ，且 )
3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，则? a ;
②若 ， ，则 ;
③若 且 ，则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
二.例题讲解：
【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{_|_= ,m∈z};对于集合n：{_|_= ,n∈z}
对于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解：
当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b
【例2】定义集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析：确定集合a_b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有两个元素，故a_b的子集共有22个。选d。
变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时，a_-1=0无解，∴a=0 ②
综①②得：所求集合为{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：(1)若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1，2，3}的真子集共有
(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 则有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个
4.设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }， b={ }则a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正确的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上语句都不对
7.设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式a_2+b_+c 0的解集为
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，则_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r，则a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是
13设集合a={ },b={_ },且a b，则实数k的取值范围是。
14.设全集u={_ 为小于20的非负奇数}，若a (cub)={3，7，15}，(cua) b={13，17，19}，又(cua) (cub)= ，则a b=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求实数a。
16(12分)设a= ， b= ，
其中_ r,如果a b=b，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a
(ⅰ)b= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}时， 0 得a=-1
(ⅲ)b={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
